丝袜 龟责 3名高中生再行知道百年数学定理！只用课余时刻、顺序非常翻新

3 名高中生丝袜 龟责，只用课余时刻，再行知道了 100 年前的数学定理。

不仅仅圆，你不错在门格海绵（Menger Sponge）中找到任何一个数学结（knot）！

你可能对门格海绵还相比生分，它是 Karl Menger（卡尔 · 门格尔）在 1926 年创建的一个非常兴味的认识，对当代数学、图形学等限制都很迫切。

这个分形海绵在一百年间引诱了多量专科和业尾数学家，原因也很粗陋：它看起来太兴味了。

2014 年，数百名数学深爱者还参与了一个名为 MegaMenger 的民众步履，用柬帖制作出了重达 200 磅的新版块门格海绵。

由于它有多孔、泡沫状的结构，还经常被用来模拟减震器和终点的空间 - 时刻步地。

它的结构非常优雅。咱们不错从一个立方体启航，起先移除位于其中心以及六个面中心的立方体。然后对剩下的 20 个立方体重叠此经过。

在每次迭代中，它的间隙会呈指数级加多，最驱逐构非常访佛咱们常见的"海绵"，这亦然它名字的由来。

门格海绵也有着非常高出的数学性质：跟着迭代，立方体的格局体积会减少到零，而名义积无尽增大。

Menger 在 1926 年提议这个认识时，就知道了任何能遐想出来的曲线——粗陋的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构——都不错变形然后镶嵌海绵的某个方位，也便是说这种海绵是一种"通用曲线"。

而今天的主角，来自加拿大的 3 名高中生，陪同其时还在就读多伦多大学接头生的 Malors Espinosa ( 马洛斯 · 埃斯皮诺萨 ) ，进一步扩张了这个定理的知道。

而况他们还发现，三叶结所属类 "普雷策尔结（pretzel knot）"也都不错映射到四面体版块的门格海绵中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家 Radmila Sazdanovic 也评答复，"这是一种非常机要的知道顺序。"

这到底是奈何作念到的呢？

用弧形图与康托尔集示意结

Malors 在阅读了关系证光泽意志到，Menger 照旧知道不错在他的海绵中找到随心一个圆。

那么，要是是另外一种访佛于"圆"的格局，这个定理还能开荒吗？

比如一个经典的数学结：将一条绳索诬蔑并打结，然后将其两头阻塞酿成一个环。此时，要是让一只蚂蚁沿着它行走，最终它会回到启航点，就像在圆上一样。

这么一来，每个结都与圆等价，概况说"同胚（homeomorphic）"于圆。

Malors 从这个想法中获得了灵感，他决定从我方讲课的高中里找一些学生来知道：门格海绵中不错找到任何一个结。

自后，三名高中生—— Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth 简直作念到了！

在插足这个知道举止之前，三位学生从来莫得作念过这种"莫得谜底"的题目，但这群 14 岁的少年都非常振奋。

他们的狡计访佛于用一根小型针穿过一团灰尘，也便是海绵经过屡次移除后剩下的部分。

他们必须将针插在正确的位置，精准无误地打结，而况不可离开海绵。要是他们的线因为任何一个结而飘摇在海绵的破绽中，那就失败了。

诚然这看起来非常贫苦，但有一种简化的顺序。绳结不错示意为一张平面上的终点图表，称为弧示意（arc presentations）。

要绘图弧示意图，起先要了解结的各股是怎么前后挪动的。然后，哄骗一套规矩将这些信息转机为网格上的一系列点。网格的每一滑和每一列都将包含两个点。

用水轻柔垂直线联接这些点。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线之上。

每个结都不错用这种网格状的神色示意。诚然弧示意法或然看起来比其他的绘图顺序更复杂，但它不错让数学家更容易接头结的一些迫切性质。

当学生们看到混淆视听的线条图时，他们逸想起了门格海绵的面。

你不错非常粗陋地把曲线的水平线放在海绵的一个面上，把垂直线放在海绵的另一个面上。

难点在于怎么将结拉伸回三维空间。在曲线的每一个转角处，都需要通过海绵的里面将两个面联接起来，幸免遭受洞。

为了确保这少许，他们预料了康托尔集（the Cantor set），它是门格海绵的一维模拟。

要构建这个聚拢，起先要从一条线段运转，把它分红三份。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段作念雷同的贬责，依此类推，源源连接。终末剩下的便是脱落的点了。

接头小组的知道同期利用了门格海绵和康托尔集，它们有疏通数目的移除要领。

他们发现，海绵面上坐标都在康托尔齐集的点不应该有洞。而况，由于海绵的重叠遐想，在这些点的正后方也不应该有洞。因此，结不错目田、显着地穿过海绵，而不会不注意跳出海绵的材料。

接下来，学生们要作念的便是知道他们不错压缩或拉伸随心绳结的曲线示意，使其统共角都与康托尔齐集的坐标对皆。 ( 这种压缩和拉伸是可行的，因为它不会影响曲线的全体结构，因此也不会影响它所代表的绳结）。

为了完成这终末一步，3 位同学走了一条捷径。

他们知道，他们不错对任何曲线进行变形，使其垂直线段和水平线段的交叉点都在康托尔齐集。这就自动保证了更多的角也会与康托尔集对皆。

换句话说，他们总能将给定的结镶嵌门格尔海绵的某个迭代中。

这就照旧完成了 Malors 领先的知道。不外，他们还想进一步鼓舞这个接头：是否统共的结也不错镶嵌门格海绵的四面体版块中？

关于学生们的想要在四面体中寻找三叶结的想法，Malors 伊始服气是不可能的。

但几周后，学生们简直作念到了：他们找到了一种新顺序，不错将三叶结的弧示意映射到四面体中。

他们自后知道，这种顺序适用于三叶结所属的更平庸的结类 "普雷策尔结（pretzel knot）"。

不外现在关于其他类型的结的知道还没能完成。

One More Thing

Malors 示意，此次知道经过，让学生们实在体会到了数学接头的熬煎。

不同于高中数学题目中老是会给出细主见谜底，实在的数学接头中，很大一部分时刻都是在有但愿的失败中抵抗。

Malors 觉得学生们的知道顺序可能为更平庸地测量分形的复杂性提供了一种新想路。

并非统共的分形都能保证容纳统共类型的结。也许不错笔据它们能容纳和不可容纳哪些类型的结来更好地清爽它们的结构。

至少，这件作品不错引发新的艺术灵感，访佛于 2014 年的 MegaMenger 大赛等等。

在知道技巧，3 位同学都已高中毕业。只好 Broden 决定在大学课业不忙的时候络续接头四面体问题，但三东说念主也都在议论从事数学办事。

另一个同学 Nazareth 也示意："我正在奋力为更大的奇迹，为真谛的骨子作念出孝敬，这嗅觉很挑升旨。

参考调节：https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/

—  完  —

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